|
Analizë
Analiza është një degë e matematikës që merret me numrat reale dhe numrave kompleks dhe funksionet e tyre. It has its beginnings in the rigorous formulation of calculus and it studies concepts such as continuity , integration and differentiability in general settings. Ajo i ka fillimet e saj në formulimin rigoroze e gur dhe studime të koncepteve të tilla si vazhdimësi, integrimin dhe differentiability në mjedis të përgjithshme.
Numrat Reale
Në matematikë, numrat reale të përfshijnë të dy numrat racional, të tilla si 42 dhe -23/129, dhe numrat e paarsyeshme, të tilla si pi dhe rrënjë katrore të dy, ose, një numër i vërtetë mund të jepet nga një përfaqësim dhjetore të pafundme, të tilla si 2,4871773339 ..., ku shifra të vazhdojnë në disa mënyra, ose, numrat reale mund të mendohet si pika në një linjë pafundësisht numër të gjatë.
These descriptions of the real numbers, while intuitively accessible, are not sufficiently rigorous for the purposes of pure mathematics. Këto përshkrime të numrave reale, ndërsa intuitive arritshëm, nuk janë mjaft rigoroze për qëllime të matematikës të pastër. The discovery of a suitably rigorous definition of the real numbers—indeed, the realisation that a better definition was needed—was one of the most important developments of 19th century mathematics. Zbulimi i një përkufizimi të përshtatshme rigoroz të numrave reale të vërtetë, realizimi se një përkufizim më të mirë ishte e nevojshme-ishte një ndër zhvillimet më të rëndësishme të matematikës shekullit të 19-të. Popular definitions in use today include equivalence classes of Cauchy sequences of rational numbers; Dedekind cuts ; a more sophisticated version of "decimal representation"; and an axiomatic definition of the real numbers as the unique complete Archimedean ordered field . Përkufizimet re në përdorim sot përfshijnë klasa ekuivalencë e Cauchy sequences e numrave racional; ulje Dedekind, një version më të sofistikuara të "përfaqësimit të dhjetore" dhe një përkufizim axiomatic e numrave real si fushë unik plotë Archimedean urdhëruar.
Numrat reale mund të mendohet si pika në një linjë pafundësisht numër të gjatë.
Numrat Kompleks
Një numër kompleks, në matematikë, është një numër i përbërë nga një numër real dhe një numri imagjinar, por mund të jetë shkruar në formë a + bi, ku a dhe b janë numra real, dhe i është njësi standarde imagjinare, duke pasur prona që i 2 = -1. [1] Numrat kompleks përmban numrat e thjeshtë e vërtetë, por shtrihen ato duke shtuar në numër shtesë korresponduese zgjerimin dhe të kuptuarit e mbledhjes dhe shumëzimit. This is in order to form a closed field , where any polynomial equation has a root , including examples such as x 2 = −1. Kjo është në mënyrë që të formojnë një fushë të mbyllura, ku çdo ekuacioni polinom ka një rrënjë, duke përfshirë shembuj të tillë si x 2 = -1.
Complex numbers were first conceived and defined by the Italian mathematician Gerolamo Cardano , who called them "fictitious", during his attempts to find solutions to cubic equations . [ 2 ] The solution of a general cubic equation may require intermediate calculations containing the square roots of negative numbers, even when the final solutions are real numbers, a situation known as casus irreducibilis . Numrat Kompleks u konceptuar e parë dhe të përcaktuara nga italian Cardano matematikan Gerolamo, i cili i quajtur ato "fiktive", gjatë përpjekjeve të tij për të gjetur zgjidhje për ekuacionet kub. [2] zgjidhje e ekuacionit kubik përgjithshëm mund të kërkojë nga llogaritjet e ndërmjetme që përmbajnë rrënjë katrore të numrat negativ, edhe kur zgjidhjet përfundimtare janë numra të vërtetë, një situatë të njohur si irreducibilis casus. This ultimately led to the fundamental theorem of algebra , which shows that with complex numbers, a solution exists to every polynomial equation of degree one or higher. Kjo çoi në fund të fundit në teorema themelore e algjebër, i cili tregon se me numra kompleks, një zgjidhje ekziston për çdo ekuacion polinom i shkallës një apo më të lartë.
The rules for addition, subtraction, multiplication, and division of complex numbers were developed by the Italian mathematician Rafael Bombelli . [ 3 ] A more abstract formalism for the complex numbers was further developed by the Irish mathematician William Rowan Hamilton , who extended this abstraction to the theory of quaternions . Rregullat për më tepër, zbritje, shumëzim, dhe ndarja e numrave kompleks janë zhvilluar nga italian Bombelli matematikan, Rafael. [3] Një formalizëm më shumë abstrakte për numrat komplekse u zhvilluar më tej nga Hamilton matematikan irlandez William Rowan, i cili shtrihet ky abstragim të Teoria e quaternions.
Complex numbers are used in a number of fields, including: engineering , electromagnetism , quantum physics , applied mathematics , and chaos theory . Numrat komplekse janë përdorur në një numër fushash, përfshirë këtu: inxhinieri, Elektromagnetizmi, fizika kuantike, aplikuar matematikë, dhe teoria e kaos. When the underlying field of numbers for a mathematical construct is the field of complex numbers, the name usually reflects that fact. Kur fushën e numrave themelor për ndërtimin e një matematikore është fusha të numrave kompleks, emrin zakonisht pasqyron këtë fakt. Examples are complex analysis , complex matrix , complex polynomial , and complex Lie algebra . Shembuj janë analiza komplekse, matricë komplekse, polinom komplekse, dhe algjebër komplekse gënjej.
Aeroplan i foto paraqet numrat kompleks, me pikë të caktuar Mandelbrot (a fractal) me ngjyrë blu. The points in the set are those which stay near the origin after repeated squaring and adding. Pikë në grup janë ato që qëndrojnë pranë origjinës pas disa squaring dhe duke shtuar.
Funksionet
Në matematikë, një funksion është një lidhje midis një të dhënë caktuar i elementeve (domain) dhe një tjetër grup i elementeve (codomain), e cila e lidh çdo element në fushë me një element pikërisht në codomain. The elements so related can be any kind of thing (words, objects, qualities) but are typically mathematical quantities , such as real numbers . Elementet që lidhen në mënyrë mund të jetë çdo lloj gjë (fjalë, objektet, cilësitë) por janë tipike sasi matematikore, si numrat e vërtetë.
There are many ways to represent or visualize functions: a function may be described by a formula , by a plot or graph , by an algorithm that computes it, by arrows between objects, or by a description of its properties. Ka shumë mënyra për të përfaqësuar ose kujtoj funksione: një funksion mund të jetë i përshkruar nga një formulë, me një komplot ose grafik, nga një algoritmi që Llogarit ajo, nga shigjetat mes objekteve, ose me një përshkrim të pronave të saj. Sometimes, a function is described through its relationship to other functions (for example, inverse functions ). Ndonjëherë, një funksion është përshkruar me marrëdhëniet e saj me funksione të tjera (për shembull, funksionet inversi). In applied disciplines, functions are frequently specified by tables of values or by formulae. Në disiplina të aplikuar, funksionet janë të specifikuara shpesh nga tabelat e vlerave ose nga formula.
In a setting where outputs of functions are numbers, functions may be added and multiplied, yielding new functions. Në një mjedis ku rezultatet e funksioneve të numrave, funksione mund të jenë shtuar dhe shumëfishuar, japin funksione të reja. Collections of functions with certain properties, such as continuous functions and differentiable functions , usually closed under certain operations, are called function spaces and are studied as objects in their own right, in such disciplines as real analysis and complex analysis . Përmbledhje e funksioneve me pronat e caktuara, të tilla si funksionet e vazhdueshme dhe funksionet differentiable, zakonisht të mbyllura nën operacione të caktuara, janë të quajtur hapësirave funksionojnë dhe janë studiuar si objekte në të drejtën e tyre, në disiplina të tilla si analizë reale dhe analizat komplekse. An important operation on functions, which distinguishes them from numbers , is composition of functions . Një operacion i rëndësishëm për funksionet, që dallon ata nga numrat, është përbërja e funksioneve. The composite function is obtained by using the output of one function as the input of another. Funksioni i përbërë është marrë duke përdorur kodet e të funksionojë si një kontribut i një tjetër. This operation provides the theory of functions with its most powerful structure. Ky operacion siguron teoria e funksioneve me strukturën e tij më të fuqishme.
In pure mathematics , functions are defined using set theory , and there are theorems that show the existence of uncountably many different functions, most of which cannot be expressed with a formula or algorithm. Në matematikë të pastër, funksionet janë të përcaktuara duke vendosur teori, dhe ka Teorema që tregojnë ekzistencën e uncountably funksione shumë të ndryshme, shumica e të cilave nuk mund të shprehet me një formulë apo algorithm.
Grafiku i funksionit shembull,
|
|
| Të gjitha të drejtat e rezervuara ©2010-2011 Shkencë dhe Teknologji